Теория вероятностей на ЕГЭ. Краткий теоретический курс с примерами

Автор: Борзенко Лариса Михайловна

Организация: МАОУ СОШ № 48

Населенный пункт: Тюменская область, г. Тюмень

Случайным называется событие, которое нельзя точно предсказать заранее. Оно может либо произойти, либо нет.

Простой  пример. Вы бросаете монетку. Орел или решка?

Такое действие, которое может привести к одному из нескольких результатов, в теории вероятностей называют испытанием.

1. Орел и решка — два возможных исхода испытания.

Орел выпадет в одном случае из двух возможных. Говорят, что вероятность того, что монетка упадет орлом, равна 1/2.

2. Бросим игральную кость. У кубика шесть граней, поэтому возможных исходов тоже шесть.

Например, вы загадали, что выпадет три очка. Это один исход из шести возможных. В теории вероятностей он будет называться благоприятным исходом.

Вероятность выпадения тройки равна 1/6 (один благоприятный исход из шести возможных).

Вероятность четверки — тоже 1/6

А вот вероятность появления семерки равна нулю. Ведь грани с семью точками на кубике нет.

Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

Очевидно, что вероятность не может быть больше единицы.

3. В пакете 25 яблок, из них 8 — красные, остальные — зеленые. Ни формой, ни размером яблоки не отличаются. Вы запускаете в пакет руку и наугад вынимаете яблоко. Вероятность вытащить красное яблоко равна 8/25, а зеленое — 17/25.

 Вероятность достать красное или зеленое яблоко равна 8/25 + 17/25 = 1.

4.  В фирме такси в данный момент свободно 15 машин: 2 красных, 9 желтых и 4 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшихся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет желтое такси.

Всего имеется 15 машин, то есть к заказчице приедет одна из пятнадцати. Желтых — девять, и значит, вероятность приезда именно желтой машины равна 9/15, то есть 0,6.

5.  Ученика попросили назвать число от 1 до 100. Какова вероятность того, что он назовет число кратное пяти?

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11… 100

Каждое пятое число из данного множества делится на 5. Значит, вероятность равна 1/5.

6.  Брошена игральная кость. Найдите вероятность того, что выпадет нечетное число очков.

1, 3, 5 — нечетные числа; 2, 4, 6 — четные. Вероятность нечетного числа очков равна 1/2.

Ответ: 0,5.

7.  Монета брошена три раза. Какова вероятность двух «орлов» и одной «решки»?

Заметим, что задачу можно сформулировать по-другому: бросили три монеты одновременно. На решение это не повлияет.

Как вы думаете, сколько здесь возможных исходов?

Бросаем монету. У этого действия два возможных исхода: орел и решка

Две монеты — уже четыре исхода:

орел    орел,   орел    решка, решка орел, решка   решка

Три монеты? Правильно, 8 исходов, так как 2  2  2 = 2³ = 8.

Вот они:

орел    орел    орел

орел    орел    решка

орел    решка орел

решка орел    орел

орел    решка решка

решка орел    решка

решка решка орел

решка решка решка

Два орла и одна решка выпадают в трех случаях из восьми.

 Ответ: 3/8.

 

8.  В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.

Бросаем первую кость — шесть исходов. И для каждого из них возможны еще шесть — когда мы бросаем вторую кость.

Получаем, что у данного действия — бросания двух игральных костей — всего 36 возможных исходов, так как 6² = 36.

А теперь — благоприятные исходы:  2 6 ;  3 5 ;  4 4 ;  5 3  ;  6 2. Вероятность выпадения восьми очков равна 5/36 ≈ 0,14.

Рассмотрим теоремы, при помощи которых по вероятностям одних случайных событий вычисляют вероятности других случайных событий.

Определение. События называют несовместными, если они не могут происходить одновременно в одном и том же испытании.

Например, выигрыш, ничейный исход и проигрыш одного игрока в одной партии в шахматы – три несовместных события.

Теорема. Вероятность суммы двух несовместных событий  А и В (появления хотя бы одного события) равна сумме вероятностей этих событий:

P(A+B) = P( A) + P(B).

Теорема обобщается на любое число попарно несовместных событий.

Следствие. Сумма вероятностей противоположных событий А и ¬A равна 1:

P(A) + P(¬A) =1.

9. Зачет по стрельбе курсант сдаст, если получит оценку не ниже 4. Какова вероятность сдачи зачета, если известно, что курсант получает за стрельбу оценку 5 с вероятностью 0,3 и оценку 4 с вероятностью 0,6? В этом опыте обозначим через А событие «по стрельбе курсант получил оценку 5» и через В событие «по стрельбе курсант получил оценку 4». Эти события несовместны. Событие С «зачет сдан» является их суммой C = A + B . Из условия задачи следует, что вероятности P(A) = 0,3 и P(B) = 0,6 . По формуле сложения вероятностей несовместных событий имеем: Р C = P (A)+Р( B =0,9. Ответ: 0,9.

Определение. События называют совместными, если они могут происходить одновременно. Например, при бросании двух монет выпадение решки на одной не исключает появления решки на другой монете.

Теорема. Вероятность суммы двух совместных событий А и В (появления хотя бы одного события) равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного появления, то есть

Р(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB).

10. Прибор, состоящий из двух блоков, выходит из строя, если выходят из строя оба блока. Вероятность безотказной работы за определенный промежуток времени первого блока составляет 0,9, второго – 0,8, обоих блоков – 0,75. Найти вероятность безотказной работы прибора в течение указанного промежутка.

По формуле сложения вероятностей имеем: 0,9 +  0,8 -  0, 75 =  0,95. Ответ: 0,95.

Определение. Два случайных события называют независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. В противном случае события называют зависимыми.

Теорема. Вероятность произведения (совместного появления)двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: P(AB) = P( A)* P(B).

11. Стрелок попадает в цель с вероятностью 0,9. Найдите вероятность того, что он попадёт в цель четыре раза подряд.

 Если вероятность попадания равна 0,9 — следовательно, вероятность промаха 0,1. Вероятность двух попадания подряд равна 0,9  0,9 = 0,81. А вероятность четырех попаданий подряд равна

 0,9  0,9  0,9  0,9 = 0,6561.

12. В классе учится 21 человек. Среди них две подруги: Аня и Нина. Класс случайным образом делят на 7 групп, по 3 человека в каждой. Найти вероятность того, что Аня и Нина окажутся в одной группе.

Пусть Аня оказалась в некоторой группе. Тогда для 20 оставшихся учащихся оказаться с ней в одной группе есть две возможности. Вероятность этого события равна 2 : 20 = 0,1.

 

Вероятность: логика перебора.

Задача про монеты многим показалась сложной.

В кармане у Пети было 2 монеты по 5 рублей и 4 монеты по 10 рублей. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах.

Мы знаем, что вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

Кодируем монеты числами: 1, 2 (это пятирублёвые), 3, 4, 5, 6 (это десятирублёвые). Условие задачи можно теперь сформулировать так:

Есть шесть фишек с номерами от 1 до 6. Сколькими способами можно разложить их по двум карманам поровну, так чтобы фишки с номерами 1 и 2 не оказались вместе?

Запишем, что у нас в первом кармане.

Для этого составим все возможные комбинации из набора 1 2 3 4 5 6. Набор из трёх фишек будет трёхзначным числом. Очевидно, что в наших условиях 1 2 3 и 2 3 1 — это один и тот же набор фишек. Чтобы ничего не пропустить и не повториться, располагаем соответствующие трехзначные числа по возрастанию:

123, 124, 125, 126…

А дальше? Мы же говорили, что располагаем числа по возрастанию. Значит, следующее — 134, а затем: 135, 136, 145, 146, 156.

Все! Мы перебрали все возможные комбинации, начинающиеся на 1. Продолжаем: 234, 235, 236, 245, 246, 256,  345, 346, 356,  456.

Всего 20 возможных исходов.

У нас есть условие — фишки с номерами 1 и 2 не должны оказаться вместе. Это значит, например, что комбинация 356 нам не подходит — она означает, что фишки 1 и 2 обе оказались в не в первом, а во втором кармане. Благоприятные для нас исходы — такие, где есть либо только 1, либо только 2. Вот они:

134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256 — всего 12 благоприятных исходов.

Тогда искомая вероятность равна 12/20.  Ответ: 0,6.

 

Подборка  тренировочных задач с ответами.

1. На эк­за­ме­не 50 би­ле­тов, Рус­лан не вы­учил 5 из них. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ему по­па­дет­ся вы­учен­ный билет. Ответ: 0,9

2. Ро­ди­тель­ский ко­ми­тет за­ку­пил 25 паз­лов для по­дар­ков детям на окон­ча­ние года, из них 15 с ма­ши­на­ми и 10 с ви­да­ми го­ро­дов. По­дар­ки рас­пре­де­ля­ют­ся слу­чай­ным об­ра­зом. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что Толе до­ста­нет­ся пазл с ма­ши­ной. Ответ: 0,6

3. В сред­нем на 50 кар­ман­ных фо­на­ри­ков при­хо­дит­ся два не­ис­прав­ных. Най­ди­те ве­ро­ят­ность ку­пить ра­бо­та­ю­щий фо­на­рик. Ре­зуль­тат округ­ли­те до сотых. Ответ: 0,96

4. В сред­нем из каж­дых 80 по­сту­пив­ших в про­да­жу ак­ку­му­ля­то­ров 76 ак­ку­му­ля­то­ров за­ря­же­ны. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что куп­лен­ный ак­ку­му­ля­тор не за­ря­жен. Ответ: 0,05

5. Коля на­уда­чу вы­би­ра­ет дву­знач­ное число. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что оно окан­чи­ва­ет­ся на 3.

Ответ: 0,1

6. Для эк­за­ме­на под­го­то­ви­ли би­ле­ты с но­ме­ра­ми от 1 до 50. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что на­у­гад взя­тый уче­ни­ком билет имеет од­но­знач­ный номер? Ответ: 0,18

7. В мешке со­дер­жат­ся же­то­ны с но­ме­ра­ми от 5 до 54 вклю­чи­тель­но. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность, того, что из­вле­чен­ный на­у­гад из мешка жетон со­дер­жит дву­знач­ное число? Ответ: 0,9

8. Для эк­за­ме­на под­го­то­ви­ли би­ле­ты с но­ме­ра­ми от 1 до 25. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что на­у­гад взя­тый уче­ни­ком билет имеет номер, яв­ля­ю­щий­ся дву­знач­ным чис­лом? Ответ: 0,64

9. В де­неж­но-ве­ще­вой ло­те­рее на 100 000 би­ле­тов разыг­ры­ва­ет­ся 1300 ве­ще­вых и 850 де­неж­ных вы­иг­ры­шей. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность по­лу­чить ве­ще­вой вы­иг­рыш? Ответ: 0,013

10. В де­неж­но-ве­ще­вой ло­те­рее на 100000 би­ле­тов разыг­ры­ва­ет­ся 1250 ве­ще­вых и 810 де­неж­ных вы­иг­ры­шей. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность де­неж­но­го вы­иг­ры­ша? Ответ: 0,0081

11. В мешке со­дер­жат­ся же­то­ны с но­ме­ра­ми от 2 до 51 вклю­чи­тель­но. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность, того, что номер из­вле­чен­но­го на­у­гад из мешка же­то­на яв­ля­ет­ся од­но­знач­ным чис­лом? Ответ: 0,16

12. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но вы­бран­ное на­ту­раль­ное число от 15 до 29 де­лит­ся на 5?

Ответ: 0,2

13. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но вы­бран­ное на­ту­раль­ное число от 15 до 29 де­лит­ся на 5?

Ответ: 0,2

13. Из 900 новых флеш-карт в сред­нем 54 не при­год­ны для за­пи­си. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но вы­бран­ная флеш-карта при­год­на для за­пи­си? Ответ: 0,94

14. Из 1400 новых карт па­мя­ти в сред­нем 56 не­ис­прав­ны. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но вы­бран­ная карта па­мя­ти ис­прав­на? Ответ: 0,96

15. В сред­нем на 147 ис­прав­ных дре­лей при­хо­дят­ся три не­ис­прав­ные. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что вы­бран­ная дрель ис­прав­на. Ответ: 0,98

16. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но вы­бран­ное на­ту­раль­ное число от 192 до 211 вклю­чи­тель­но де­лит­ся на 5? Ответ: 0,2

17. На та­рел­ке лежат пи­рож­ки, оди­на­ко­вые на вид: 4 с мясом, 8 с ка­пу­стой и 3 с виш­ней. Петя на­у­гад вы­би­ра­ет один пи­ро­жок. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что пи­ро­жок ока­жет­ся с виш­ней. Ответ: 0,2

18. В лыж­ных гон­ках участ­ву­ют 13 спортс­ме­нов из Рос­сии, 2 спортс­ме­на из Нор­ве­гии и 5 спортс­ме­нов из Шве­ции. По­ря­док, в ко­то­ром спортс­ме­ны стар­ту­ют, опре­де­ля­ет­ся жре­би­ем. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что пер­вым будет стар­то­вать спортс­мен не из Рос­сии. Ответ: 0,35

19. Де­вя­ти­класс­ни­ки Петя, Катя, Ваня, Даша и На­та­ша бро­си­ли жре­бий, кому на­чи­нать игру. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что на­чи­нать игру дол­жен будет маль­чик. Ответ: 0,4

20. На эк­за­ме­не 25 би­ле­тов, Сер­гей не вы­учил 3 из них. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ему попадётся вы­учен­ный билет. Ответ: 0,88

21. В чем­пи­о­на­те по фут­бо­лу участ­ву­ют 16 ко­манд, ко­то­рые же­ре­бьев­кой рас­пре­де­ля­ют­ся на 4 груп­пы: A, B, C и D. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что ко­ман­да Рос­сии не по­па­да­ет в груп­пу A? Ответ: 0,75

22. В груп­пе из 20 рос­сий­ских ту­ри­стов не­сколь­ко че­ло­век вла­де­ют ино­стран­ны­ми язы­ка­ми. Из них пя­те­ро го­во­рят толь­ко по-ан­глий­ски, трое толь­ко по-фран­цуз­ски, двое по-фран­цуз­ски и по-ан­глий­ски. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но вы­бран­ный ту­рист го­во­рит по-фран­цуз­ски? Ответ: 0,25

23. В ко­роб­ке 14 па­ке­ти­ков с чёрным чаем и 6 па­ке­ти­ков с зелёным чаем. Павел на­у­гад вы­ни­ма­ет один па­ке­тик. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что это па­ке­тик с зелёным чаем? Ответ: 0,3

24. На та­рел­ке лежат пи­рож­ки, оди­на­ко­вые на вид: 4 с мясом, 8 с ка­пу­стой и 3 с яб­ло­ка­ми. Петя на­у­гад вы­би­ра­ет один пи­ро­жок. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что пи­ро­жок ока­жет­ся с яб­ло­ка­ми. Ответ: 0,2

25. Стас, Денис, Костя, Маша, Дима бро­си­ли жре­бий — кому на­чи­нать игру. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что на­чи­нать игру долж­на будет де­воч­ка. Ответ: 0,2

26. Перед на­ча­лом фут­боль­но­го матча судья бро­са­ет мо­нет­ку, чтобы опре­де­лить, какая из ко­манд будет пер­вой вла­деть мячом. Ко­ман­да А долж­на сыг­рать два матча — с ко­ман­дой В и с ко­ман­дой С. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в обоих мат­чах пер­вой мячом будет вла­деть ко­ман­да А. Ответ: 0,25

27. На эк­за­ме­не по био­ло­гии школь­ни­ку достаётся один слу­чай­но вы­бран­ный во­прос из спис­ка. Ве­ро­ят­ность того, что этот во­прос на тему «Чле­ни­сто­но­гие», равна 0,15. Ве­ро­ят­ность того, что это ока­жет­ся во­прос на тему «Бо­та­ни­ка», равна 0,45. В спис­ке нет во­про­сов, ко­то­рые од­но­вре­мен­но от­но­сят­ся к этим двум темам. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что на эк­за­ме­не школь­ни­ку до­ста­нет­ся во­прос по одной из этих двух тем. Ответ: 0,6

28. В лыж­ных гон­ках участ­ву­ют 7 спортс­ме­нов из Рос­сии, 1 спортс­мен из Шве­ции и 2 спортс­ме­на из Нор­ве­гии. По­ря­док, в ко­то­ром спортс­ме­ны стар­ту­ют, опре­де­ля­ет­ся жре­би­ем. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что спортс­мен из Шве­ции будет стар­то­вать по­след­ним. Ответ: 0,1

29. Де­вя­ти­класс­ни­ки Петя, Катя, Ваня, Даша и На­та­ша бро­си­ли жре­бий, кому на­чи­нать игру. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что на­чи­нать игру долж­на будет де­воч­ка. Ответ: 0,6

30. На эк­за­ме­не 20 би­ле­тов, Сер­гей не вы­учил 3 из них. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ему попадётся вы­учен­ный билет. Ответ: 0,85

31. В лыж­ных гон­ках участ­ву­ют 11 спортс­ме­нов из Рос­сии, 6 спортс­ме­нов из Нор­ве­гии и 3 спортс­ме­на из Шве­ции. По­ря­док, в ко­то­ром спортс­ме­ны стар­ту­ют, опре­де­ля­ет­ся жре­би­ем. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что пер­вым будет стар­то­вать спортс­мен из Рос­сии. Ответ: 0,55

33. Де­вя­ти­класс­ни­ки Петя, Катя, Ваня, Даша и На­та­ша бро­си­ли жре­бий, кому на­чи­нать игру. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что жре­бий на­чи­нать игру Кате не вы­па­дет. Ответ: 0,8

34. В лыж­ных гон­ках участ­ву­ют 13 спортс­ме­нов из Рос­сии, 2 спортс­ме­на из Нор­ве­гии и 5 спортс­ме­нов из Шве­ции. По­ря­док, в ко­то­ром спортс­ме­ны стар­ту­ют, опре­де­ля­ет­ся жре­би­ем. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что пер­вым будет стар­то­вать спортс­мен не из Рос­сии. Ответ: 0,35

35. В лыж­ных гон­ках участ­ву­ют 11 спортс­ме­нов из Рос­сии, 6 спортс­ме­нов из Нор­ве­гии и 3 спортс­ме­на из Шве­ции. По­ря­док, в ко­то­ром спортс­ме­ны стар­ту­ют, опре­де­ля­ет­ся жре­би­ем. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что пер­вым будет стар­то­вать спортс­мен из Нор­ве­гии или Шве­ции. Ответ: 0,45

36. На каж­дые 1000 элек­три­че­ских лам­по­чек при­хо­дит­ся 5 бра­ко­ван­ных. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность ку­пить ис­прав­ную лам­поч­ку? В от­ве­те ука­жи­те ре­зуль­тат, округ­лен­ный до ты­сяч­ных. Ответ: 0,995

37. За­пи­сан рост (в сан­ти­мет­рах) пяти уча­щих­ся: 158, 166, 134, 130, 132. На сколь­ко от­ли­ча­ет­ся сред­нее ариф­ме­ти­че­ское этого на­бо­ра чисел от его ме­ди­а­ны? Ответ: 10

38. Миша, Олег, Настя и Галя бро­си­ли жре­бий — кому на­чи­нать игру. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что на­чи­нать игру долж­на будет Галя. Ответ: 0,25

39. Фирма «Вспыш­ка» из­го­тав­ли­ва­ет фо­на­ри­ки. Ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но вы­бран­ный фо­на­рик из пар­тии бра­ко­ван­ный, равна 0,02. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что два слу­чай­но вы­бран­ных из одной пар­тии фо­на­ри­ка ока­жут­ся не­бра­ко­ван­ны­ми? Ответ: 0,9604

40. Фирма «Вспыш­ка» из­го­тав­ли­ва­ет фо­на­ри­ки. Ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но вы­бран­ный фо­на­рик из пар­тии бра­ко­ван­ный, равна 0,03. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что два слу­чай­но вы­бран­ных из одной пар­тии фо­на­ри­ка ока­жут­ся не­бра­ко­ван­ны­ми? Ответ: 0,9409

 

 

 

Дополни своими задачами:________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

 

Список используемой литературы:

1. http://moodle.mouo.n-varsh.obr55.ru/

2. Открытый банк ФИПИ.

Опубликовано: 19.02.2018